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Normal oder log-normal, das ist die Frage

E. Limpert

Dozent für Aerobiologie, ETH Zürich, Scheuchzerstr. 210, CH-8057 Zürich, Schweiz

 

Die Log-Normalverteilung ist, ebenso wie die Normalverteilung, in der Biometrie wichtig zur Beschreibung quantitativer Variation. Wegen der unhandlichen Schiefe der Verteilung wird sie oft durch die log-transformierten Zufallsvariablen charakterisiert, oder graphisch dargestellt. Hier wird nun ein Konzept vorgestellt, das Verständnis, Handhabung und Vorstellbarkeit log-normal verteilter Ergebnisse wesentlich vereinfacht (1).

Basierend auf dem bekannten Galton Brett für die Normalverteilung wurde ein neuartiges Brett entwickelt zur Demonstration der Entstehung von Log-Normalverteilungen. Die entsprechende virtuelle Version wird im Internet bereits häufig genutzt (2). Darüber hinaus empfehlen wir eine handliche Charakterisierung log-normalvereilter Ergebnisse auf der Ebene der ursprünglichen Daten. Sie besteht aus dem geometrischen Mittel, x quer*, sowie einem Form-Parameter  s*  der als multiplikative Standardabweichung betrachtet werden kann. Beim Vergleich von Ergebnissen über die Wissenschaften hinweg ergab sich, daß  s*-Werte  häufig für ein Anwendungsgebiet typisch sind.

Entsprechend dem Zentralen Grenzwertsatz ergibt sich die Log-Normalverteilung, ebenso wie die Normalverteilung, aus dem Zusammenkommen vieler kleiner Effekte. Für die Normalverteilung wirken diese additiv, aber multiplikativ für die Log-Normalverteilung. Da die Lebensgesetze Multiplikationen beinhalten, erscheint die Log-Normalverteilung grundlegend für die Beschreibung der quantitativen Variation im Leben. Das steht in ziemlichem Gegensatz zur derzeitigen Popularität der Normalverteilung. In dem Zusammenhang ist interessant, daß wir keine normalverteilten Daten von ursprünglichen Messungen fanden, die nicht ebenso gut zur Log-Normalverteilung passen.

 

1. Limpert E., Stahel W. A., Abbt M., (2001) Log-normal distributions across the sciences - keys and clues. BioScience 51, 341-352.

2. http://stat.ethz.ch/vis/log-normal